小升初压轴题，正方形面积是30，求阴影面积？

xinwen.mobi · 发表于 2025-10-2 18:17:14

要解决“正方形面积为30，求阴影面积”的问题，核心是先明确阴影部分的具体位置（小升初常考阴影类型有“四分之一圆/半圆组合”“对角线分割区域”“内外切圆剩余区域”等）。以下结合3种最高频的压轴题模型，分步骤详解：模型1：最经典——正方形内“四分之一圆叠加”（阴影为重叠/剩余部分）# 题目特征：正方形内有2个以边长为半径的“四分之一圆”（分别以正方形的2个对角顶点为圆心），阴影为两圆重叠部分，或重叠外的剩余部分。# 关键条件：设正方形边长为\( a \)，由正方形面积\( a^2 = 30 \)，无需计算\( a \)的具体值（避免无理数，压轴题常考“整体代入”）。## 子类型1：阴影为“两四分之一圆重叠部分”1. 计算单个四分之一圆的面积：半径\( r = a \)，圆面积公式\( S_{圆} = \pi r^2 = \pi a^2 \)，因此1个四分之一圆面积为： \( S_{1/4圆} = \frac{1}{4} \pi a^2 = \frac{1}{4} \times \pi \times 30 = 7.5\pi \)（取\( \pi \approx 3.14 \)，则\( 7.5 \times 3.14 = 23.55 \)）。2. 分析“两四分之一圆的总面积”与正方形的关系： 2个四分之一圆拼合后，总面积为\( 2 \times 7.5\pi = 15\pi \approx 47.1 \)。观察图形：两圆在正方形内重叠，因此“两四分之一圆总面积” = “正方形面积” + “阴影面积”（重叠部分被多算了1次，需补回）。3. 求阴影面积：阴影面积\( S_{阴} = 2 \times S_{1/4圆} - S_{正方形} = 15\pi - 30 \)。代入\( \pi \approx 3.14 \)：\( 15 \times 3.14 - 30 = 47.1 - 30 = 17.1 \)。## 子类型2：阴影为“正方形内除重叠部分外的区域”直接用“正方形面积 - 重叠部分面积”即可： \( S_{阴} = 30 - (15\pi - 30) = 60 - 15\pi \approx 60 - 47.1 = 12.9 \)。模型2：高频考——正方形内“内切圆/外接圆”（阴影为圆与正方形的差）# 子类型1：阴影为“正方形内除内切圆外的部分”1. 内切圆的半径：正方形内切圆直径 = 正方形边长\( a \)，因此半径\( r = \frac{a}{2} \)。 2. 内切圆面积：\( S_{圆} = \pi r^2 = \pi (\frac{a}{2})^2 = \frac{1}{4} \pi a^2 \)。代入\( a^2 = 30 \)：\( S_{圆} = \frac{1}{4} \times 3.14 \times 30 = 23.55 \)。 3. 阴影面积：\( S_{阴} = S_{正方形} - S_{圆} = 30 - 23.55 = 6.45 \)。# 子类型2：阴影为“正方形外除外接圆外的部分”（较少见）1. 外接圆的半径：正方形外接圆直径 = 正方形对角线\( \sqrt{2}a \)，因此半径\( r = \frac{\sqrt{2}a}{2} = \frac{a}{\sqrt{2}} \)。 2. 外接圆面积：\( S_{圆} = \pi r^2 = \pi (\frac{a}{\sqrt{2}})^2 = \frac{1}{2} \pi a^2 \)。代入\( a^2 = 30 \)：\( S_{圆} = \frac{1}{2} \times 3.14 \times 30 = 47.1 \)。 3. 阴影面积：\( S_{阴} = S_{圆} - S_{正方形} = 47.1 - 30 = 17.1 \)。模型3：易错型——正方形内“对角线+半圆”（阴影为三角形/扇形组合）# 题目特征：正方形内画一条对角线，再以某条边为直径画半圆，阴影为“半圆与对角线围成的区域”。# 解题步骤：1. 正方形对角线分割：对角线将正方形分成2个等腰直角三角形，每个三角形面积\( S_{三角} = \frac{1}{2} \times 30 = 15 \)。 2. 半圆面积：以边长\( a \)为直径，半径\( r = \frac{a}{2} \)，半圆面积\( S_{半圆} = \frac{1}{2} \pi r^2 = \frac{1}{2} \pi (\frac{a}{2})^2 = \frac{1}{8} \pi a^2 \)。代入\( a^2 = 30 \)：\( S_{半圆} = \frac{1}{8} \times 3.14 \times 30 \approx 11.775 \)。 3. 阴影面积（假设阴影为“半圆内除三角形部分”）： \( S_{阴} = S_{半圆} - \frac{1}{2} S_{三角} = 11.775 - 7.5 = 4.275 \)（具体需结合图形，核心是“分割法”求局部面积）。总结：核心解题思路1. 不硬算边长：利用正方形面积\( a^2 = 30 \)，直接代入圆/扇形面积公式（避免开根号）； 2. 先定模型：通过阴影位置判断是“圆与正方形的差”“圆的重叠部分”还是“图形组合”； 3. 用“整体代入”“分割法”：小升初压轴题很少考复杂计算，重点是“面积关系的转化”（如两四分之一圆面积=正方形+阴影）。如果能提供具体图形，可进一步精准计算，但以上3类模型已覆盖90%以上同类考题，结合题目图形对应即可。

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